L'ICM à la bulle : pourquoi un call rentable en jetons perd en euros

L'exemple : trois joueurs, deux places payées

Le modèle de Malmuth-Harville, celui de l'app, dit une chose simple : la probabilité de finir premier est ta part des jetons. Puis, parmi ceux qui restent, la probabilité de finir deuxième est ta part des jetons restants. Faisons-le pour B :

• B premier : 30 ÷ 100 = 30 % ;
• B deuxième : si A gagne (50 %), B prend la 2^e place avec 30 ÷ 50 = 60 % de chances ; si C gagne (20 %), avec 30 ÷ 80 = 37,5 %. Total : 0,5 × 0,6 + 0,2 × 0,375 = 37,5 % ;
• équité de B : 0,30 × 60 + 0,375 × 40 = 18 + 15 = 33 €.

Même calcul pour les deux autres :

Le gros stack vaut moins que ses jetons, le short plus que les siens : C a déjà de bonnes chances de toucher 40 € si quelqu'un d'autre saute.

Le spot : A jam, B doit-il call ?

C fold au bouton. A, en SB, part all-in ; il couvre B. B, en BB, doit payer 29 bb pour un pot de 31 (les 30 bb que A engage contre lui, plus sa propre blinde).

En jetons, la cote est celle du pot : 29 ÷ (31 + 29) = 48,3 % d'équité requise.

En euros, il faut regarder les trois équités du duel :

• maintenant : 33 € ;
• si B gagne, les stacks deviennent A 20, B 60, C 20 : B premier à 60 %, deuxième à 0,2 × 60/80 + 0,2 × 60/80 = 30 %, soit 0,6 × 60 + 0,3 × 40 = 48 € ;
• si B perd, il est éliminé à la bulle : 0 €.

Le bubble factor compare ce qu'il risque à ce qu'il peut gagner : (33 − 0) ÷ (48 − 33) = 33 ÷ 15 = 2,2. Perdre lui coûte 2,2 fois ce que gagner lui rapporte. La cote se recalcule en comptant sa mise 2,2 fois :

2,2 × 29 ÷ (31 + 2,2 × 29) = 63,8 ÷ 94,8 = 67,3 %.

Le risk premium est l'écart : 67,3 − 48,3 = +19 points. On peut le vérifier sans formule : s'il fold, B garde 29 bb (A 51, C 20) et une équité de 32,37 €. Pour que le call vaille autant, il faut que équité × 48 € atteigne 32,37 €, soit 67,4 % — le même chiffre, à l'arrondi près.

Le call qui gagne des jetons et perd des euros

Suppose que B a 55 % d'équité contre la range de jam de A. Comparons ses deux options.

Le call rapporte 4 bb en moyenne et coûte presque 6 € sur un prize pool de 100. La raison tient dans les trois équités : doubler fait passer B de 33 à 48 € (+15), perdre le fait passer de 33 à 0 (−33). Tout l'écart entre 55 % et 67 % est de l'argent perdu, même si le calcul en jetons dit call.

À l'inverse, A peut jam très large : B et C ne peuvent pas le payer sans une main forte, et chaque fold lui rapporte les blindes sans risque. C'est ce que le chapitre ICM appelle « l'ICM joue pour toi ».

Un risk premium par duel, jamais par joueur

Sur la même table, voici le risk premium de chaque duel en all-in contre all-in : en jetons il faudrait 50 %, sous ICM il faut 50 % plus ce chiffre (bf ÷ (1 + bf) − 50 %).

Deux lectures :

• Le stack moyen souffre le plus, pas le short : B face à A paie 18,8 points, C face à A seulement 12,1. B a beaucoup à perdre (une 2^e place probable) et peu à gagner.
• Le même joueur change de régime selon l'adversaire : B est très contraint face à A, presque libre face à C (+4,5), qu'il couvre. Le réflexe à la bulle n'est donc pas « je serre », mais « qui me couvre ? ».

À la table : ce qui change vraiment

• Regarde qui couvre qui avant de regarder ta main. Couvert par celui qui jam, ajoute le risk premium à ta cote ; c'est toi qui couvres, la pression est sur lui.
• Ne confonds pas la bulle et la pression : à stacks égaux, elle bouge peu de choses ; c'est l'écart de stacks qui la crée.
• Les primes changent le calcul : en PKO, la prime de celui que tu couvres s'ajoute dans la branche gagnante et fait baisser le bubble factor, parfois sous 1. Le détail est dans PKO : calculer la prime en jetons et dans tournois PKO : call ou fold face au jam.
• À 10–20 bb, la bulle se joue en jam ou fold : voir le push/fold expliqué et la méthode pas à pas de call ou fold face à un jam.

Les mots de cette page (bulle, bubble factor, risk premium, payout) sont définis dans le lexique du poker de tournoi.